WEEK 02 · PRACTICE EXAM
2주차 종합 퀴즈
2주차 · 선형대수와 확률의 계산 및 해석
강의자료와 검수된 개념에 맞춰 새로 만든 문제입니다. 실제 시험 문제 복원이나 출제 예측이 아닙니다. 뒤쪽은 공통 지문·출력표·계산을 연결해 풉니다. 서술형은 모범답안과 기준으로 직접 평가합니다.
한 문항씩 답을 적고 정답·해설을 확인한 뒤 다음으로 넘어갑니다. 답안은 이 브라우저에 자동 저장됩니다. 수치형은 소수·분수(예: 1/2)·과학적 표기(예: 1e-3)를 입력할 수 있습니다. 단위는 입력칸 옆을 확인하세요.
01 / 50 · 기초 · 선택형
문제 1
행렬 A가 4×3일 때 A의 열 수는?
02 / 50 · 기초 · 선택형
문제 2
3×2 행렬 A와 곱 AB를 정의하려면 B의 행 수는?
03 / 50 · 기초 · 선택형
문제 3
항등행렬 I의 성질은?
04 / 50 · 기초 · 수치형
문제 4
벡터 (2,−1)과 (3,4)의 내적은?
05 / 50 · 기초 · 선택형
문제 5
미지수가 x,y일 때 선형방정식은?
06 / 50 · 기초 · 선택형
문제 6
행 연산으로 허용되지 않는 것은?
07 / 50 · 기초 · 수치형
문제 7
행렬 [[3,1],[2,4]]의 행렬식은?
08 / 50 · 기초 · 선택형
문제 8
정사각행렬의 행렬식이 0이면?
09 / 50 · 기초 · 선택형
문제 9
고유벡터 정의에서 반드시 필요한 조건은?
10 / 50 · 기초 · 선택형
문제 10
선형독립인 두 벡터는 항상 직교한다.
11 / 50 · 기초 · 수치형
문제 11
자료 2,4,4,6,14의 평균은?
12 / 50 · 기초 · 수치형
문제 12
자료 2,4,4,6,14의 중앙값은?
13 / 50 · 기초 · 선택형
문제 13
연속확률변수에서 구간 확률은?
14 / 50 · 기초 · 선택형
문제 14
우도를 비교할 때 고정하는 것은?
15 / 50 · 기초 · 선택형
문제 15
피어슨 상관계수가 0이면 두 변수는 반드시 독립이다.
16 / 50 · 적용 · 수치형
문제 16
A=[[1,2],[0,3]], B=[[2,0],[1,4]]일 때 AB의 (1,2) 원소는?
17 / 50 · 적용 · 수치형
문제 17
A=[[1,2],[0,3]], B=[[2,0],[1,4]]일 때 BA의 (1,2) 원소는?
18 / 50 · 적용 · 수치형
문제 18
연립방정식 x+y=7, 2x−y=2에서 x는?
19 / 50 · 적용 · 선택형
문제 19
첨가행렬을 소거한 결과 마지막 행이 [0,0|5]다. 해의 개수는?
20 / 50 · 적용 · 서술형
문제 20
x+2y=4, 2x+4y=8의 모든 해를 매개변수로 나타내시오.
해설
둘째 식은 첫째 식의 두 배이므로 독립 조건이 하나뿐이다. y=t로 두면 x=4−2t이며 t는 임의의 실수다.
둘째 식은 첫째 식의 두 배이므로 독립 조건이 하나뿐이다. y=t로 두면 x=4−2t이며 t는 임의의 실수다.자기평가 기준
- 두 식의 종속성을 확인했다.
- (x,y)=(4−2t,t), t∈R을 제시했다.
21 / 50 · 적용 · 수치형
문제 21
A=[[2,1],[1,1]]일 때 A 역행렬의 (1,1) 원소는?
22 / 50 · 적용 · 수치형
문제 22
A=[[4,0],[0,2]], v=(0,3)일 때 v에 대응하는 고유값은?
23 / 50 · 적용 · 서술형
문제 23
T(x,y)=x+y가 단사가 아님을 서로 다른 입력 두 개로 보이시오.
해설
입력 (1,0)과 (0,1)은 서로 다르지만 둘 다 출력 1이 된다. 따라서 출력 하나로 입력을 유일하게 복원할 수 없고 단사가 아니다.
입력 (1,0)과 (0,1)은 서로 다르지만 둘 다 출력 1이 된다. 따라서 출력 하나로 입력을 유일하게 복원할 수 없고 단사가 아니다.자기평가 기준
- 핵심 개념과 사례의 근거를 정확히 연결했는지 스스로 확인한다.
- 한계 또는 필요한 조건을 명시했는지 스스로 확인한다.
24 / 50 · 적용 · 수치형
문제 24
자료 1,3,5의 표본분산을 구하시오. 분모는 n−1을 사용한다.
25 / 50 · 적용 · 수치형
문제 25
U가 [2,10]의 연속균등분포일 때 P(4≤U≤7)는?
26 / 50 · 적용 · 수치형
문제 26
P(H)=0.2, P(E|H)=0.6, P(E|H의 여사건)=0.1이다. P(E)는?
27 / 50 · 적용 · 수치형
문제 27
P(H)=0.2, P(E|H)=0.6, P(E|H의 여사건)=0.1이다. P(H|E)는?
28 / 50 · 적용 · 서술형
문제 28
관측한 동전 결과가 앞·앞·뒤로 순서까지 고정되어 있다. θ=0.5와 θ=0.8의 우도를 비교하시오.
해설
L(θ)=θ²(1−θ)이다. L(0.5)=0.125이고 L(0.8)=0.128이므로 두 후보 중 0.8의 우도가 더 크다. 이는 θ=0.8일 사후확률이 0.128이라는 뜻은 아니다.
L(θ)=θ²(1−θ)이다. L(0.5)=0.125이고 L(0.8)=0.128이므로 두 후보 중 0.8의 우도가 더 크다. 이는 θ=0.8일 사후확률이 0.128이라는 뜻은 아니다.자기평가 기준
- 두 우도 0.125와 0.128을 정확히 구했다.
- 후보 0.8 선택과 우도·사후확률의 차이를 밝혔다.
29 / 50 · 적용 · 수치형
문제 29
기대 제곱예측오차=편향²+모형분산+잡음분산이다. 편향 2, 모형분산 3, 잡음분산 1일 때 오차는?
30 / 50 · 적용 · 서술형
문제 30
여름 방문객만 10만 명 조사하여 연간 방문객을 설명한다. 표본 수를 두 배로 늘리는 것만으로 선택편향이 해결되는가?
해설
같은 여름 방문객만 추가하면 다른 계절의 방문객이 계속 빠지므로 해결되지 않는다. 연간 모집단을 반영하도록 계절별 수집 설계를 바꾸고 평가해야 한다.
같은 여름 방문객만 추가하면 다른 계절의 방문객이 계속 빠지므로 해결되지 않는다. 연간 모집단을 반영하도록 계절별 수집 설계를 바꾸고 평가해야 한다.자기평가 기준
- 핵심 개념과 사례의 근거를 정확히 연결했는지 스스로 확인한다.
- 한계 또는 필요한 조건을 명시했는지 스스로 확인한다.
공통 지문 · 이어지는 소문항에 사용
제품 배합과 원료 수요
제품 A 한 개는 원료 R 2단위와 S 1단위, 제품 B 한 개는 R 1단위와 S 3단위를 사용한다. 손실·재고 이월 없이 원료를 전량 사용한다. 행은 R,S, 열은 A,B 순서다.
| 원료 | A 1개 | B 1개 | 오늘 보유량 |
|---|---|---|---|
| R | 2 | 1 | 13 |
| S | 1 | 3 | 19 |
생산량 벡터 x=(a,b)ᵀ에 대해 Cx=r이며 C=[[2,1],[1,3]], r=(13,19)ᵀ다. 내일은 A 4개와 B 6개를 주문받았다.
31 / 50 · 심화 · 수치형
문제 31
배합행렬 C의 행렬식은?
32 / 50 · 심화 · 수치형
문제 32
오늘 원료를 모두 쓰는 A 생산량 a는?
33 / 50 · 심화 · 수치형
문제 33
내일 주문을 생산하는 데 필요한 S 원료량은?
34 / 50 · 심화 · 서술형
문제 34
C의 역행렬을 구하고 오늘 생산량을 복원하는 계산을 보이시오.
해설
C⁻¹=(1/5)[[3,−1],[−1,2]]이다. C⁻¹r=(1/5)(39−19,−13+38)ᵀ=(4,5)ᵀ다. 원래 두 식에 넣으면 R=13, S=19가 된다.
C⁻¹=(1/5)[[3,−1],[−1,2]]이다. C⁻¹r=(1/5)(39−19,−13+38)ᵀ=(4,5)ᵀ다. 원래 두 식에 넣으면 R=13, S=19가 된다.자기평가 기준
- 역행렬의 네 원소와 1/5를 제시했다.
- 생산량 (4,5)를 복원하고 원래 자원량과 확인했다.
공통 지문 · 이어지는 소문항에 사용
센서 보정과 식의 중복
두 미지량 x,y를 센서로 추정한다. 각 행은 센서 식의 x 계수, y 계수, 측정값을 나타낸다. 먼저 1·2번 식만 사용하고 이후 3번 식의 의미를 검토한다.
| 센서 | x 계수 | y 계수 | 측정값 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 8 |
| 2 | 2 | 4 | 16 |
| 3 | 1 | −1 | 2 |
식은 오차 없는 정확한 제약으로 취급한다. 마지막 문항에서는 오직 2번 측정값만 17로 바꾼 상황을 별도로 다룬다.
35 / 50 · 심화 · 선택형
문제 35
1·2번 식만 있을 때 해집합은?
36 / 50 · 심화 · 수치형
문제 36
3번 식까지 모두 이용하면 y는?
37 / 50 · 심화 · 서술형
문제 37
처음 첨가행렬에서 R2←R2−2R1을 수행한 행과 그 의미를 쓰시오.
해설
2번 행은 [0,0|0]이 된다. 이 행은 0=0이라 추가 제약을 주지 않으며, 2번 센서가 1번 식과 중복된 정보를 제공한다.
2번 행은 [0,0|0]이 된다. 이 행은 0=0이라 추가 제약을 주지 않으며, 2번 센서가 1번 식과 중복된 정보를 제공한다.자기평가 기준
- 핵심 개념과 사례의 근거를 정확히 연결했는지 스스로 확인한다.
- 한계 또는 필요한 조건을 명시했는지 스스로 확인한다.
38 / 50 · 심화 · 서술형
문제 38
2번 측정값을 17로 바꾸면 세 식의 정확한 공통 해가 존재하는가? 행 연산으로 설명하시오.
해설
R2−2R1=[0,0|1]이므로 0=1이라는 모순이다. 3번 식을 추가하더라도 이미 모순인 두 식을 동시에 만족시킬 수 없어 공통 해는 없다.
R2−2R1=[0,0|1]이므로 0=1이라는 모순이다. 3번 식을 추가하더라도 이미 모순인 두 식을 동시에 만족시킬 수 없어 공통 해는 없다.자기평가 기준
- 핵심 개념과 사례의 근거를 정확히 연결했는지 스스로 확인한다.
- 한계 또는 필요한 조건을 명시했는지 스스로 확인한다.
공통 지문 · 이어지는 소문항에 사용
변환의 방향과 정보 손실
평면의 벡터에 A=[[3,1],[1,3]]을 적용한다. 비교할 방향은 u=(1,1)ᵀ, v=(1,−1)ᵀ다. 별도의 압축 변환은 B=[[1,1]]로 정의하여 T(z)=Bz라는 한 숫자를 출력한다.
| 입력 | 벡터 |
|---|---|
| u | (1,1)ᵀ |
| v | (1,−1)ᵀ |
| 검증 입력 z | (3,1)ᵀ=2u+v |
모든 벡터는 열벡터이며 유클리드 내적으로 직교 여부를 판단한다.
39 / 50 · 심화 · 수치형
문제 39
u에 대응하는 A의 고유값은?
40 / 50 · 심화 · 수치형
문제 40
v에 대응하는 A의 고유값은?
41 / 50 · 심화 · 수치형
문제 41
z=2u+v에 A를 적용한 결과의 첫 성분은?
42 / 50 · 심화 · 서술형
문제 42
u,v의 직교 여부와 압축 변환 B의 단사 여부를 각각 근거와 함께 설명하시오.
해설
uᵀv=1−1=0이므로 직교한다. B(1,0)ᵀ=B(0,1)ᵀ=1이어서 서로 다른 입력이 같은 출력으로 가므로 B는 단사가 아니다. 직교하는 방향이 있더라도 한 숫자로의 압축에서 정보가 보존된다고 할 수 없다.
uᵀv=1−1=0이므로 직교한다. B(1,0)ᵀ=B(0,1)ᵀ=1이어서 서로 다른 입력이 같은 출력으로 가므로 B는 단사가 아니다. 직교하는 방향이 있더라도 한 숫자로의 압축에서 정보가 보존된다고 할 수 없다.자기평가 기준
- 내적 0으로 직교를 판정했다.
- B에 대한 서로 다른 입력의 동일 출력 반례를 제시했다.
공통 지문 · 이어지는 소문항에 사용
자동 검사의 양성 결과 읽기
어떤 공정에서 무작위로 선택한 제품의 불량 사전확률은 0.04다. 자동 검사가 불량을 양성으로 표시할 확률은 0.90, 정상 제품을 양성으로 표시할 확률은 0.05다. 아래 10,000개 기준 표는 이 비율이 정확히 구현된 가상 집계다.
| 실제 상태 | 전체 | 검사 양성 | 검사 음성 |
|---|---|---|---|
| 불량 | 400 | 360 | 40 |
| 정상 | 9600 | 480 | 9120 |
확률 답은 0~1 범위에서 소수 넷째 자리까지 입력한다. 마지막 문항에서는 검사 성능을 유지한 채 불량 사전확률만 0.20으로 바꾼다.
43 / 50 · 심화 · 수치형
문제 43
무작위 제품이 양성으로 표시될 확률은?
44 / 50 · 심화 · 수치형
문제 44
양성으로 표시된 제품이 실제 불량일 확률은?
45 / 50 · 심화 · 수치형
문제 45
음성으로 표시된 제품이 불량일 확률은?
해설
0.0044
음성은 40+9120=9160개이며 불량은 40개다. 40/9160≈0.0043668을 반올림하면 0.0044다.자동 채점 허용 오차: ±0.0001
46 / 50 · 심화 · 서술형
문제 46
불량 사전확률이 0.20으로 바뀌면 양성 후 불량 확률을 계산하고 기존 결과와 비교하시오.
해설
새 양성 확률은 0.90×0.20+0.05×0.80=0.22다. 사후 불량 확률은 0.18/0.22=9/11≈0.8182로 기존 0.4286보다 높다. 검사 성능이 같아도 사전확률이 높아지면 양성 집단에서 불량의 비중이 커진다.
새 양성 확률은 0.90×0.20+0.05×0.80=0.22다. 사후 불량 확률은 0.18/0.22=9/11≈0.8182로 기존 0.4286보다 높다. 검사 성능이 같아도 사전확률이 높아지면 양성 집단에서 불량의 비중이 커진다.자기평가 기준
- 전체 양성확률 0.22와 사후확률 약 0.8182를 계산했다.
- 기존 약 0.4286과 비교하여 사전확률의 역할을 설명했다.
공통 지문 · 이어지는 소문항에 사용
요약값·우도·일반화 점검
정비팀은 아래 세 종류의 자료를 별개로 분석한다. 실수로 서로 다른 개념을 섞지 않도록 각 문항의 자료를 사용하시오.
| 자료 | 값과 조건 |
|---|---|
| 정비시간 표본 | 2,4,4,6시간. 표본분산은 n−1로 나눈다. |
| 장비 작동 결과 | 성공, 실패, 성공, 성공의 순서가 고정된 4회. 시행은 독립이고 성공확률 θ는 일정하다. |
| 예측 모델 M | 편향 1, 모형분산 5, 잡음분산 2 |
| 예측 모델 N | 편향 2, 모형분산 1, 잡음분산 2 |
두 모델의 기대 제곱예측오차는 편향²+모형분산+잡음분산으로 계산한다. 우도 후보는 θ=0.5와 θ=0.75다.
47 / 50 · 심화 · 수치형
문제 47
정비시간 표본의 표본분산은? 소수 넷째 자리까지 입력하시오.
48 / 50 · 심화 · 수치형
문제 48
순서가 고정된 작동 결과에 대한 L(0.75)/L(0.5)는?
해설
1.6875
L(θ)=θ³(1−θ). L(0.75)=0.10546875, L(0.5)=0.0625이므로 비는 1.6875다.자동 채점 허용 오차: ±0.0001
49 / 50 · 심화 · 수치형
문제 49
M의 기대 제곱예측오차에서 N의 오차를 뺀 값은?
50 / 50 · 심화 · 서술형
문제 50
우도비가 1.6875라는 사실을 “θ=0.75의 확률은 168.75%”로 보고했다. 오류를 고치고 모형 선택에서 훈련오차만 비교하면 안 되는 이유도 설명하시오.
해설
우도비는 관측 자료를 고정했을 때 후보 0.75의 우도가 후보 0.5보다 1.6875배 크다는 뜻이며 모수의 확률이 아니다. 사후확률에는 사전확률과 정규화가 필요하다. 또한 훈련오차는 학습 자료 적합 정도이므로 새 자료에서의 분산과 과적합 위험을 반영할 별도 검증이 필요하다.
우도비는 관측 자료를 고정했을 때 후보 0.75의 우도가 후보 0.5보다 1.6875배 크다는 뜻이며 모수의 확률이 아니다. 사후확률에는 사전확률과 정규화가 필요하다. 또한 훈련오차는 학습 자료 적합 정도이므로 새 자료에서의 분산과 과적합 위험을 반영할 별도 검증이 필요하다.자기평가 기준
- 우도비를 후보 간 상대적인 설명력으로 해석했다.
- 사후확률과 우도를 구별했다.
- 훈련오차와 일반화 평가의 차이를 설명했다.